【題目】已知函數(shù)
.
（1）當(dāng)
時，求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)
時，設(shè)函數(shù)
，若存在區(qū)間
，使得函數(shù)
在
上的值域為
，求實數(shù)
的最大值.
【答案】（1）見解析；（2）
.
【解析】
（1）求導(dǎo)后含參數(shù)
，通過分類討論容易得出結(jié)論；
（2）問題等價為
在
上至少有兩個不同的正根
，再構(gòu)造函數(shù)求解即可．
解：（1）因為
的定義域為
，
當(dāng)
時，函數(shù)
導(dǎo)數(shù)為
，
若
時，
，
單調(diào)遞減，
若
時，
，當(dāng)
或
時，
，當(dāng)
時，
，
即函數(shù)在區(qū)間
，
上單調(diào)遞減，在區(qū)間
上單調(diào)遞增．
若
時，
，當(dāng)
或
時，，當(dāng)
時，，
函數(shù)在區(qū)間
，
上單調(diào)遞減，在區(qū)間
上單調(diào)遞增．
綜上，若時，函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間，
若時，函數(shù)的減區(qū)間為，，增區(qū)間為，
若時，函數(shù)的減區(qū)間為，，增區(qū)間為．
（2）當(dāng)
時，設(shè)函數(shù)
．
令
，
，
當(dāng)
時，
，
為增函數(shù)，
，
為增函數(shù)，在區(qū)間
上遞增，
在
，
上的值域是
在
上至少有兩個不同的正根，
，令
，
.
求導(dǎo)得，
，
令
，
則
，
所以
在遞增，
，
，
∴當(dāng)
，
，
；
當(dāng)
，
，
.
∴
在
上遞減，在
上遞增，
，
的最大值為．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
，函數(shù)
的圖象在點
處的切線平行于
軸．
（Ⅰ）求
的值
（Ⅱ）設(shè)
，若
的所有零點中，僅有兩個大于
，設(shè)為
，
（
）
（1）求證：
，
．
（2）過點
，
的直線的斜率為
，證明：
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某校100名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
(1)求圖中a的值；
(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學(xué)生語文成績的平均分；
(3)若這100名學(xué)生語文成績某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(x)與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(y)之比如下表所示，求數(shù)學(xué)成績在[50,90)之外的人數(shù).
分?jǐn)?shù)段 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) |
x∶y | 1∶1 | 2∶1 | 3∶4 | 4∶5 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，已知正方形
的邊長為2，點
為
的中點．以
為圓心，
為半徑，作弧交
于點
．若
為劣弧
上的動點，則
的最小值為__________．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在直角坐標(biāo)系
中，曲線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)）．
是曲線上的動點，將線段
繞
點順時針旋轉(zhuǎn)
得到線段
，設(shè)點
的軌跡為曲線
．以坐標(biāo)原點為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（I）求曲線，的極坐標(biāo)方程；
（II）在（I）的條件下，若射線
與曲線，分別交于
兩點（除極點外），且有定點
，求
面積．
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