Question

某廠使用兩種零件A、B裝配兩種產品X、Y,該廠的生產能力是月產X最多2 500件,月產Y最多1 200件,而組裝一件X需要4個A,2個B,組裝一件Y需要6個A,8個B,某個月,該廠能用的A最多有14 000個,B最多有12 000個,已知產品X每件利潤為1 000元,Y每件利潤為2 000元,欲使該月利潤最高,需組裝X、Y產品各多少件?最高利潤為多少萬元?

Answer 1

分析：設出生產X與Y產品的件數分別為x、y.利用A、B兩種零件的最大個數限制x、y的范圍,應注意整體代換.

解：設分別生產X、Y產品x件、y件,則0≤x≤2 500,0≤y≤1 200.由題意4x+6y≤14 000,2x+8y≤12 000,即2x+3y≤7 000,x+4y≤6 000.

則該月產品的利潤為1 000x+2 000y=1 000(x+2y).

設x+2y=λ(2x+3y)+k(x+4y),

則解之,得λ=.

于是x+2y=(2x+3y)+(x+4y),

∴x+2y≤×7 000+×6 000=4 000,

    首先要理解并記住每條性質的條件,尤其是字母的符號及不等式方向.其次要清楚這些性質的主要用途以及其證明的基本方法.

    “等式”與“不等式”的異同.

等式	不等式	說明
a=bb=a	a＞bb＜a	改變不等號方向
a=bac=bc(c≠0)	a＞b,c＞0ac＞bca＞b,c＜0ac＜bc	討論c的符號
a=b=(ab≠0)	a＞b,ab＞0＜	不等式成立的條件是a、b同號且不等式的方向要改變

當且僅當

即x=時上式取等號.

此時最高利潤為1 000(x+2y)=4 000 000=400(萬元).