Question

已知圓C的方程

（1）若點在圓C的內部,求m的取值范圍；

（2）若當時

①設為圓C上的一個動點，求的最值；.

②問是否存在斜率是1的直線l，使l被圓C截得的弦AB，以AB為直徑的圓經過原點，若存在，寫出直線l的方程；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

（1）m>-5 （2）①4 ②存在直線l，其方程為y=x-4或y=x+1

【解析】

試題分析：（1）根據圓C的標準方程可得m＞-5．再根據點A（m，-2）在圓C的內部，可得 ，由此求得m的范圍．

（2）①表示圓C上的點P（x，y）到點H（4，2）的距離的平方，求得|HC|=5，故的最大值為HC加上半徑后的平方，的最小值為HC減去半徑后的平方．

②假設存在直線l滿足題設條件，設l的方程為y=x+m，則AB中點N是兩直線x-y+m=0與y+2=-（x-1）的交點，即N（?），以AB為直徑的圓經過原點，求得|AN|=，|ON|=，由|AN|=|ON|，解得m的值，可得結論．

試題解析：（1）,∴m>-5.

（2）①當m=4時，圓C的方程即，而表示圓C上的點P（x，y）到點H（4，2）的距離的平方，由于|HC|==5，故的最大值為 （5+3）2=64，的最小值為 （5-3）2=4．

②法一：假設存在直線l滿足題設條件，設l的方程為y=x+m,圓C化為,圓心C（1，-2），則AB中點N是兩直線x-y+m=0與y+2=-（x-1）的交點即N,以AB為直徑的圓經過原點，

∴|AN|=|ON|，又CN⊥AB，|CN|=，

∴|AN|=.

又|ON|=

由|AN|=|ON|，解得m=-4或m=1.

∴存在直線l，其方程為y=x-4或y=x+1．

法二：假設存在直線l，設其方程為：

由

得： ①

設A（），B（）

則： ∴

又∵OA⊥OB

∴ ∴

解得b=1或

把b=1和分別代入①式，驗證判別式均大于0，故存在b=1或

∴存在滿足條件的直線方程是：

考點：直線與圓的位置關系；點與圓的位置關系．