Question

已知曲線C:y=x³.

(1)求曲線C上橫坐標為1處的切線方程;

(2)第(1)小題中的切線與曲線C是否還有其他的公共點?

Answer 1

分析:(1)利用求導公式求出導函數,然后求出f′(1)即為切線的斜率,進而求切線的方程;(2)利用方程組的解與曲線交點的關系,判斷公共點的個數.

解:(1)由導數公式表,得f′(x)=3x²,

∴f′(1)=3.

由點斜式,得切線方程為y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.

(2)由

消去y并整理,得(x-1)(x²+x-2)=0.

解得x₁=1,x₂=-2.

∴公共點為P(1,1)或P(-2,-8).

因此,切線與曲線C的公共點除了切點P(1,1)外,還有另外一點P(-2,-8).