Question

已知函數(shù)f（x）=2x²-3x+1，g（x）=ksin（x-

π

6

），（k≠0）．
（1）問α去何值時(shí)，方程f（sinx）=α-sinx在[0，2π]上有兩解；
（2）若對任意的x₁∈[0，3]，總存在x₂∈[0，3]，使f（x₁）=g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍？

Answer 1

分析：（1）2sin²x-3sinx+1=a-sinx化為2sin²x-2sinx+1=a在[0，2π]上有兩解令t=sinx則2t²-2t+1=a在[-1，1]上解的情況可結(jié)合兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況討論；
（2）據(jù)題意有f（x₁）的值域是g（x₂）值域的子集，先求f（x₁）值域，然后分類討論，求出g（x₂）值域，建立關(guān)于k的不等式，可求k的范圍．

解答：解：（1）2sin²x-3sinx+1=a-sinx化為2sin²x-2sinx+1=a在[0，2π]上有兩解
換t=sinx則2t²-2t+1=a在[-1，1]上解的情況如下：
①當(dāng)在（-1，1）上只有一個(gè)解或相等解，x有兩解（5-a）（1-a）＜0或△=0
∴a∈（1，5）或a=

1

2

②當(dāng)t=-1時(shí)，x有惟一解x=

3π

2

③當(dāng)t=1時(shí)，x有惟一解x=

π

2

故a∈（1，5）或a=

1

2

；
（2）當(dāng)x₁∈[0，3]時(shí)，f（x₁）值域?yàn)閇-

1

8

，10]，
當(dāng)x₂∈[0，3]時(shí)，x₂-

π

6

∈[-

π

6

，3-

π

6

]，有sin（x₂-

π

6

）∈[-

1

2

，1]
①當(dāng)k＞0時(shí)，g（x₂）值域?yàn)閇-

1

2

k，k]
②當(dāng)k＜0時(shí)，g（x₂）值域?yàn)閇k，-

1

2

k]
而依據(jù)題意有f（x₁）的值域是g（x₂）值域的子集
∴

k＞0 10≤k - 1 8 ≥- 1 2 k

或  

k＜0 10≤- 1 2 k - 1 8 ≥k

∴k≥10或k≤-20．

點(diǎn)評：本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，方程與函數(shù)的思想的應(yīng)用．