Question

已知二次函數f（x）滿足f（x）-f（x-1）=-8x+12和f（0）=-3．
（1）求f（x）；
（2）分析該函數的單調性；
（3）求函數在[2，3]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），依題意可求得a、b、c的值；
（2）對該二次函數配方后可得f（x）=-4（x-1）²+1，從而可得該函數的單調區間；
（3）利用f（x）=-4（x-1）²+1的單調性即可求得函數在[2，3]上的最大值與最小值．

解答：解：（1）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），那么f（x-1）=a（x-1）²+b（x-1）+c．
∴f（x）-f（x-1）=2ax+（b-a）=-8x+12．
由對應系數相等得方程組

2a=-8 b-a=12

，
解得：a=-4，b=8，
∴f（x）=-4x²+8x+c，
又f（0）=-3，
∴c=-3．
∴f（x）=-4x²+8x-3；
（2）∵f（x）=-4（x-1）²+1，
∴該函數的遞增區間為（-∞，1]，遞減區間為[1，+∞）；
（3）∵f（x）=-4（x-1）²+1在區間[2，3]上單調遞減，
∴f（x）_max=f（2）=-3，
f（x）_min=f（3）=-15．

點評：本題考查函數單調性的判斷與證明，考查二次函數的單調性與最值，屬于中檔題．