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過拋物線y2=4x的焦點,作直線與拋物線相交于P、Q兩點,求線段PQ中點的軌跡方程.
分析:確定y2=4x的焦點坐標,分類討論,利用點差法,即可求得結論.
解答:解:∵y2=4x的焦點坐標為F(1,0)
∴當直線PQ的斜率k存在時,可設其方程的y=k(x-1),且k≠0
又設P(x1,y1),Q(x2,y2),中點M的坐標為(x0,y0),則有:
2y0=y1+y2
2x0=x1+x2

而由題意,得
y
2
1
=4x1
y
2
2
=4x2

∴(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)
y1-y2
x1-x2
=
4
y1+y2

k=
2
y0
…(4分)
∵點M(x0,y0)在直線PQ上
y0=k(x0-1)
y
2
0
=2(x0-1)

即得線段PQ中點的軌跡方程為y2=2(x-1)…(5分)
而當直線PQ的斜率不存在時,有PQ⊥x軸,此時PQ的中點M,即為焦點F(1,0),滿足y2=2(x-1)
綜上,線段PQ中點的軌跡方程為y2=2(x-1)…(6分)
點評:本題考查軌跡方程,考查分類討論的數學思想,考查學生的計算能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

傾斜角為
π
4
的直線過拋物線y2=4x的焦點且與拋物線交于A,B兩點,則|AB|=( 。
A、
13
B、8
2
C、16
D、8

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科目:高中數學 來源: 題型:

過拋物線y2=4x的焦點F引兩條互相垂直的直線AB、CD交拋物線于A、B、C、D四點.
(1)求當|AB|+|CD|取最小值時直線AB、CD的傾斜角的大小
(2)求四邊形ACBD的面積的最小值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

過拋物線y2=4x的焦點F的直線交該拋物線于A,B兩點,O為坐標原點.若|AF|=3,則△AOB的面積為
3
2
2
3
2
2

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科目:高中數學 來源: 題型:

過拋物線y2=4x的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點,點O是坐標原點,若|AF|=5,則△AOB的面積為(  )
A、5
B、
5
2
C、
3
2
D、
17
8

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科目:高中數學 來源: 題型:

過拋物線y2=4x的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點,A、B兩點在準線l上的射影分別為M.N,則∠MFN=(  )

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同步練習冊答案
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