Question

橢圓=1(a＞b＞0)與拋物線y²=4x有一個共同的焦點F，橢圓左準線與拋物線準線之間的距離為3．

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)設A、B是第一象限內分別在橢圓和拋物線上的不同兩點，且直線AB的斜率為0，求|BF|-|AF|的最大值．

Answer 1

解：(Ⅰ)由題設，橢圓的右焦點即拋物線的焦點為F(1，0)，則c=1．橢圓的左準線x=與拋物線的準線x=-1的距離為-1=a²-1．

依題意，有a²-1=3，a²=4，∴b²=a²-c²=3．

故橢圓方程為=1．

(Ⅱ)設A(x₀，y₀)，B(x₁，y₀)，則=1，且=4 x₁，

∴,

又0＜x₀＜2，x₁＞0，

∴|BF|-|AF|=

=x₁+1-(4- x₀)

=

=

=.

當x₀=時，|BF|-|AF|有最大值．

(也可用拋物線的定義，橢圓的第二定義推出|BF|、|AF|．)。