Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）當時，求的極值；

（Ⅱ）若曲線在點處切線的斜率為3，且對任意都成立，求整數的最大值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 極小值；(Ⅱ)4.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)求出導數，令，求出根，討論這些根的兩邊的符號，可得極值；(Ⅱ)由導數的幾何意義可求得參數，這樣且對任意恒成立，可化為在上恒成立，這樣我們只要求函數的最小值即可，當然題目要求整數的最大值，故可求最小值的范圍，為了討論的正負，可能還要對（或其中部分式子）再求導，通過研究（或其中部分式子）的導數，一步步研究得出結論.

試題解析：(Ⅰ) 時，

∴∴

當x變化時，與變化如下表：

X
	－	0	+
	遞減	極小值	遞增

∴當時，有極小值.

(Ⅱ)易求得 故問題化為在上恒成立

令，則

又令，

則在上恒成立,

∴在遞增,

又∵

∴在上有唯一零點，設為,則

且 ①

∴當時，；當時，，

∴當時，；當時，，

∴在上遞增，在上遞減，

∴，將①代入有

所以所以整數b的最大值為4.