Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓的右焦點為，上頂點為，，點在橢圓上.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）動直線l與橢圓相交于、兩點，與軸相交于點，與軸的正半軸相交于點，為線段的中點，若為定值，請判斷直線l是否過定點，求實數的值，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線l過定點，，理由見解析.

【解析】

（1）設點的坐標為.由，可得，，故橢圓的標準方程為，把點代入，求出，即得橢圓的標準方程；

（2）由題意可設直線的方程為，，則.由，消去，韋達定理可得.由，可得為定值，故，即求，即得直線l過定點.

（1）設點的坐標為.

由，，，，可得，.

橢圓的標準方程為，點在橢圓上，

，，

故橢圓的標準方程為.

（2）由題意可知直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為，

設，則.

由，消去，整理可得，

則，.

由，

可得.

，

，

，.

，，

，

若為定值，則必有，

解得，，，.

故直線 過定點，.