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在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率,且橢圓C上一點到點Q的距離最大值為4,過點的直線交橢圓于點

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)設(shè)P為橢圓上一點,且滿足(O為坐標(biāo)原點),當(dāng)時,求實數(shù)的取值范圍.

 

【答案】

(1);(2)

【解析】

試題分析:本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面內(nèi)兩點間距離公式等基礎(chǔ)知識,考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問,先利用離心率列出表達(dá)式找到的關(guān)系,又因為橢圓上的點到點的距離最大值為4,利用兩點間距離公式列出表達(dá)式,因為在橢圓上,所以,代入表達(dá)式,利用配方 法求最大值,從而求出,所以,所以得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;第二問,先設(shè)點坐標(biāo),由題意設(shè)出直線方程,因為直線與橢圓相交,列出方程組,消參韋達(dá)定理得到兩根之和、兩根之積,用坐標(biāo)表示得出,由于點在橢圓上,得到一個表達(dá)式,再由,得到一個表達(dá)式,2個表達(dá)式聯(lián)立,得到的取值范圍.

試題解析:(Ⅰ)∵ ∴          (1分)

則橢圓方程為

設(shè)

當(dāng)時,有最大值為

解得,橢圓方程是        (4分)

(Ⅱ)設(shè)方程為

    整理得.

,得.

               (6分)

   則,

由點P在橢圓上,得化簡得①  (8分)

又由,代入得

      化簡,得

,    ∴②      (10分)

由①,得

聯(lián)立②,解得      (12分)

考點:1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;2.兩點間的距離公式;3.配方法求函數(shù)最值;4.韋達(dá)定理.

 

練習(xí)冊系列答案
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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點,x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為:pcos(θ-
π3
)=1
,M,N分別為曲線C與x軸,y軸的交點,則MN的中點P在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為
 

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在平面直角坐標(biāo)系中,A(3,0)、B(0,3)、C(cosθ,sinθ),θ∈(
π
2
2
)
,且|
AC
|=|
BC
|

(1)求角θ的值;
(2)設(shè)α>0,0<β<
π
2
,且α+β=
2
3
θ
,求y=2-sin2α-cos2β的最小值.

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在平面直角坐標(biāo)系中,如果x與y都是整數(shù),就稱點(x,y)為整點,下列命題中正確的是
 
(寫出所有正確命題的編號).
①存在這樣的直線,既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點
②如果k與b都是無理數(shù),則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點
③直線l經(jīng)過無窮多個整點,當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個不同的整點
④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是:k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線.

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在平面直角坐標(biāo)系中,以點(1,0)為圓心,r為半徑作圓,依次與拋物線y2=x交于A、B、C、D四點,若AC與BD的交點F恰好為拋物線的焦點,則r=
 

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