在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓
:
的離心率
,且橢圓C上一點
到點Q
的距離最大值為4,過點
的直線交橢圓
于點
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)P為橢圓上一點,且滿足(O為坐標(biāo)原點),當(dāng)
時,求實數(shù)
的取值范圍.
(1);(2)
或
【解析】
試題分析:本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面內(nèi)兩點間距離公式等基礎(chǔ)知識,考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問,先利用離心率列出表達(dá)式找到與
的關(guān)系,又因為橢圓上的
點到點
的距離最大值為4,利用兩點間距離公式列出表達(dá)式,因為
在橢圓上,所以
,代入表達(dá)式,利用配方 法求最大值,從而求出
,所以
,所以得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;第二問,先設(shè)
點坐標(biāo),由題意設(shè)出直線
方程,因為直線與橢圓相交,列出方程組,消參韋達(dá)定理得到兩根之和、兩根之積,用坐標(biāo)表示
得出
,由于點
在橢圓上,得到一個表達(dá)式,再由
,得到一個表達(dá)式,2個表達(dá)式聯(lián)立,得到
的取值范圍.
試題解析:(Ⅰ)∵ ∴
(1分)
則橢圓方程為即
設(shè)則
當(dāng)時,
有最大值為
解得∴
,橢圓方程是
(4分)
(Ⅱ)設(shè)方程為
由 整理得
.
由,得
.
(6分)
∴ 則
,
由點P在橢圓上,得化簡得
① (8分)
又由即
將
,
代入得
化簡,得
則, ∴
② (10分)
由①,得
聯(lián)立②,解得∴
或
(12分)
考點:1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;2.兩點間的距離公式;3.配方法求函數(shù)最值;4.韋達(dá)定理.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
π | 3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
π |
2 |
3π |
2 |
AC |
BC |
π |
2 |
2 |
3 |
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