Question

（文科）在數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+n，n∈N^*．
（1）記b_n=a_n+n+1，求證：數列{b_n}是等比數列，并寫出數列{a_n}的通項公式；
（2）在（1）的條件下，記cn=

2n+2

2bn+3

，數列{c_n}的前n項和為S_n．求證：S_n＜

n+1

3

．

Answer 1

分析：（1）由已知，得出a_n+1+（n+2）=2a_n+n+n+2=2[a_n+（n+1）]，b_n+1=2b_n，判斷出{b_n}是等比數列，通項公式易求．
（2）由（1）可知：cn=

2n+2

3•2n+3

=

1 3 (3×2n+3)+1

3×2n+3

=

1

3

+

1

3×2n+3

＜

1

3

+

1

3×2n

，利用分組求和以及公式法求和計算出Sn再與不等式右邊比較，進行證明．

解答：解：（1）∵a_n+1=2a_n+n，
∴a_n+1+（n+2）=2a_n+n+n+2=2[a_n+（n+1）]
即b_n+1=2b_n，n∈N^*，
∴{b_n}是等比數列且首項為b₁=a₁+1+1=3，公比為2，
∴b_n=3•2^n-1
∴a_n=b_n-（n-1）=3×2^n-1-n-1．
（2）由（1）可知：cn=

2n+2

3•2n+3

=

1 3 (3×2n+3)+1

3×2n+3

=

1

3

+

1

3×2n+3

＜

1

3

+

1

3×2n

∴S_n＜

n

3

+

1 6 (1- 1 2n )

1- 1 2

=

n

3

+

1

3

(1-

1

2n

)＜

n

3

+

1

3

=

n+1

3

故S_n＜

n+1

3

(n∈N*)

點評：本題考查等比數列的判定，通項公式求解，數列求和．考查轉化、變形構造、計算、論證等能力．