Question

（本小題滿分12分）如圖：在三棱錐中，已知點、、分別為棱、、的中點．
（1）求證：∥平面；
（2）若，，求證：平面⊥平面．

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析。

本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及面面的垂直的判定，同時考查空間想象能力、推理論證能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，屬于基礎題．
（Ⅰ）欲證EF∥平面ABC，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與平面ABC內一直線平行，而EF是△SAC的中位線，則EF∥AC．又EF?平面ABC，AC?平面ABC，滿足定理所需條件；
（Ⅱ）欲證平面SBD⊥平面ABC，根據面面垂直的判定定理可知在平面ABC內一直線與平面SBD垂直，而SD⊥AC，BD⊥AC，又SD∩DB=D，滿足線面垂直的判定定理，則AC⊥平面SBD，又AC?平面ABC，從而得到結論
證明：（Ⅰ）∵是的中位線，∴∥.
又∵平面，平面，∴∥平面
（Ⅱ）∵,，∴.∵,，∴.
又∵平面，平面，，∴平面，
又∵平面，∴平面