Question

已知橢圓=1的左、右焦點分別為F₁、F₂,過F₁的直線交橢圓于B、D兩點,過F₂的直線交橢圓于A、C兩點,且AC⊥BD,垂足為P.

(1)設P點的坐標為(x₀,y₀),證明＜1;

(2)求四邊形ABCD的面積的最小值.

(文)設{a_n}是等差數列,{b_n}是各項都為正數的等比數列,且a₁=b₁=1,a₃+b₅=21,a₅+b₃=13.

(1)求{a_n}、{b_n}的通項公式;

(2)求數列{}的前n項和S_n.

Answer 1

答案： (1)證明:橢圓的半焦距c==1.

由AC⊥BD知點P在以線段F₁F₂為直徑的圓上,

故x₀²+y₀²=1,所以≤=＜1.

(2)解：①當BD的斜率k存在且k≠0時,BD的方程為y=k(x+1),代入橢圓方程=1,

并化簡,得(3k²+2)x²+6k²x+3k²-6=0.設B(x₁,y₁),D(x₂,y₂),則x₁+x₂=,x₁x₂=,

|BD|=·|x₁-x₂|=;

因為AC與BD相交于點P,且AC的斜率為-,所以|AC|=.四邊形ABCD的面積為S=·|BD|·|AC|=,

當k²=1時,上式取等號.

②當BD的斜率k=0或斜率不存在時,四邊形ABCD的面積S=4.綜上,四邊形ABCD的面積的最小值為.

(文)解：(1)設{a_n}的公差為d,{b_n}的公比為q,則依題意有q＞0且

解得d=2,q=2.所以a_n=1+(n-1)d=2n-1,b_n=q^n-1=2^n-1.

(2)=.

S_n=1+,                 ①

2S_n=2+3++…+.                     ②

②-①,得S_n=2+2+=2+2×(1++)

=2+2×.