Question

對直線a、b和平面α，在a?α的前提下，給出關系：①a∥α，②b⊥α，③a⊥b．以其中的兩個關系作為條件，另一個關系作為結論可構造三個不同的命題，分別記為命題1、命題2、命題3．
（Ⅰ）寫出上述三個命題，并判斷它們的真假；
（Ⅱ）選擇（Ⅰ）中的一個真命題，根據題意畫出圖形，加以證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用已知條件，能寫出滿足題意的三個命題，并利用直線與直線、直線與平面的位置關系，判斷三個命題的真假．
（Ⅱ）在三個命題中，選一個真命題，利用直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系，能作出圖形并進行證明．

解答：解：（Ⅰ）命題1：若a∥α，b⊥α，則a⊥b．真命題
命題2：若a∥α，a⊥b，則b⊥α．假命題
命題3：若b⊥α，a⊥b，則a∥α．真命題  …（6分）
（Ⅱ）下面證明命題1．示意圖如圖  …（8分）

過直線a作平面β，使β與α相交，設交線為c，…（10分）
因為a∥α，所以a∥c，①…（12分）
因為b⊥α，c?β，所以b⊥c，②…（13分）
由①、②知，b⊥a，即a⊥b．…（14分）
（證明命題3的參照評分）

點評：本題考查直線與平面、平面與平面、直線與直線的位置關系的判斷與證明，是基礎題，解題時要注意空間思維能力的培養．