Question

已知雙曲線x²-y²=1及點A（

7

2

，0）．
（1）求點A到雙曲線一條漸近線的距離；
（2）已知點O為原點，點P在雙曲線上，△POA為直角三角形，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）雙曲線的一條漸近線是x-y=0，由點到直線距離公式可求出雙曲線的A點到一條漸近線的距離．
（2）根據，△POA為直角三角形，分兩種情況討論：當∠OAP=90°，時，點P的橫坐標為

7

2

，代入雙曲線x²-y²=1即得；當∠OPA=90°，時，點P的坐標為（x，y），
則有：（x-

7

4

）²+y²=

49

16

，與方程x²-y²=1聯立可得．

解答：解：（1）雙曲線的一條漸近線是x-y=0，
由點到直線距離公式，A點到一條漸近線的距離是

|1× 7 2 |

12+12

=

7 2

4

；
（2）當∠OAP=90°，時，點P的橫坐標為

7

2

，代入雙曲線x²-y²=1得：y=±

3 5

2

，
∴點P的坐標（

7

2

，±

3 5

2

）．
當∠OPA=90°，時，點P的坐標為（x，y），
則有：（x-

7

4

）²+y²=

49

16

，與方程x²-y²=1聯立得：

x=2 y=± 3

∴點P的坐標（2，±

3

）．

點評：本小題主要考查雙曲線的簡單性質、點到直線的距離公式等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想．屬于基礎題．