Question

16、在平面直角坐標系中，點集A={（x，y）|x²+y²≤1}，B={（x，y）|x≤4，y≥0，，3x-4y≥0}，
則（1）點集P={（x，y）|x=x₁+3，y=y₁+1，（x₁，y₁）∈A}所表示的區域的面積為

π

；
（2）點集Q={（x，y）|x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，（x₁，y₁）∈A，（x₂，y₂）∈B}所表示的區域的面積為

18+π

．

Answer 1

分析：（1）把x=x₁+3，y=y₁+1，中的x₁，y₁代入x²+y²≤1，可得點集P的軌跡方程，然后求出點集P所表示的區域的面積．
（2）類似（1）把x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，中的x₁，y₁代入x²+y²≤1，可得點集Q的軌跡方程，然后求出點Q所表示的區域的面積．

解答：解：（1）由x=x₁+3，y=y₁+1，得x₁=x-3，y₁=y-1，
∵（x₁，y₁）∈A，代入x²+y²≤1，
∴（x-3）²+（y-1）²≤1，
點集P={（x，y）|x=x₁+3，y=y₁+1，（x₁，y₁）∈A}
所表示的區域是：以（3，1）為圓心、以1為半徑的圓，其面積是 π．

（2）由x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，得x₁=x-x₂，y₁=y-y₂，
∵（x₁，y₁）∈A，
∴把x₁=x-x₂，y₁=y-y₂，代入x²+y²≤1，
∴（x-x₂）²+（y-y₂）²≤1
點集Q所表示的區域是以集合B={（x，y）|x≤4，y≥0，，3x-4y≥0}，
的區域的邊界為圓心軌跡半徑為1 的圓內部分，如圖
其面積為：5+6+4+3+π=18+π
故答案為：（1） π （2） 18+π

點評：本題考查二元一次不等式組與平面區域的關系問題，考查轉化數學思想，作圖能力，是難題．