Question

若對一切x∈[

1

2

，2]，使得ax²-2x+2＞0都成立．則a的取值范圍為

a＞

1

2

．

Answer 1

分析：由ax²-2x+2＞0對一切x∈[

1

2

，2]恒成立可得，a＞

2

x

-

2

x2

在x∈[

1

2

，2]恒成立，構造函數 a(x)= 

2

x

-

2

x2

，x∈[

1

2

，2]從而轉化為a＞a（x）_max結合函數 a(x)=

2

x

-

2

x2

在x∈[

1

2

，2]的最值可得．

解答：解：∵不等式ax²-2x+2＞0對一切x∈[

1

2

，2]恒成立，
a＞

2

x

-

2

x2

在x∈[

1

2

，2]恒成立
構造函數 a(x)=

2

x

-

2

x2

，x∈[

1

2

，2]
∴a＞a（x）_max
設

1

x

=t，由于x∈[

1

2

，2]，所以t∈[

1

2

，2]
∵函數 a(x)=

2

x

-

2

x2

=2t-2t²在t∈[

1

2

，2]單調遞減，
故a（x）在t=

1

2

時取得最大值

1

2

，
∴a＞

1

2

．
故答案為：a＞

1

2

．

點評：本題主要考查了函數恒成立問題，此類問題常構造函數，轉化為求解函數的最值問題：a＞f（x）（或a＜f（x））恒成立?a＞f（x）_max（或a＜f（x）_min），體現了轉化思想在解題中的應用．