Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）若， ，求函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）若，且方程在內(nèi)有解，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.（2）

【解析】【試題分析】（1）先求出函數(shù)解析式導數(shù)，再借助導數(shù)與函數(shù)的單調性的關系求解；（2）依據(jù)題設先將問題進行等價轉化，再構造函數(shù)運用導數(shù)與函數(shù)的單調性的關系研究函數(shù)的圖像的形狀分析求解：

（1）若， ，則，

由，得或，

①若，即時， ，此時函數(shù)單調遞減，單調遞減區(qū)間為；

②若，即時，由，得；由得，或，

所以單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.

（2）若，∴， 則，

若方程在內(nèi)有解，即在內(nèi)有解，

即在有解.

設，則在內(nèi)有零點，設是在內(nèi)的一個零點，

因為， ，所以在和上不可能單調，

由，設，則在和上存在零點，

即在上至少有兩個零點，因為，

當時， ， 在上遞增，不合題意；

當時， ， 在上遞減，不合題意；

當時，令，得，則在上遞減，在上遞增，

在上存在最小值.

若有兩個零點，則有， .

所以， ，

設，則，令，得，

當時， ，此時函數(shù)遞增；

當時， ，此時函數(shù)遞減，

則，所以恒成立.

由， ，所以，

當時，設的兩個零點為，

則在上遞增，在上遞減，在上遞增，

則， ，則在內(nèi)有零點，

綜上，實數(shù)的取值范圍是.