Question

已知f（x）是定義在實數集R上的不恒為零的函數，且對于任意a，b∈R，滿足f（2）=2，f（ab）=af（b）+bf（a），記an=

f(2n)

2n

，bn=

f(2n)

2n

，其中n∈N^*．
考察下列結論：①f（0）=f（1）；②f（x）是R上的偶函數；③數列{a_n}為等比數列；④數列{b_n}為等差數列．
其中正確結論的序號有

①③④

．

Answer 1

分析：令a=b=0，得f（0）=0，令a=b=1，得f（1）=0．所以f（0）=f（1）．由f（1）=-f（-1）-f（-1）=0，得f（-1）=0，f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），所以f（x）是R上的奇函數．由f（2ⁿ）=n×2ⁿ，能導出an=

f(2n)

2n

=

n×2n

2n

=2^n-1，bn=

f(2n)

2n

=

n×2n

2n

=n．

解答：解：令a=b=0，
則f（0）=0，
令a=b=1，
則f（1）=2f（1），所以f（1）=0．
∴f（0）=f（1）．故①正確．
∵f（1）=-f（-1）-f（-1）=0，
∴f（-1）=0，
∴f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），
∴f（x）是R上的奇函數．故②不正確．
∵

f(ab)

ab

=

f(a)

a

+

f(b)

b

，
∴

f(abc)

abc

=

f(ab)

ab

+

f(c)

c

=

f(a)

a

+

f(b)

b

+

f(c)

c

，
以此類推

f(2n)

2n

=

f(2)

2

+

f(2)

2

+…+

f(2)

2

（共n個）=n，
∴f（2ⁿ）=n×2ⁿ．
∴an=

f(2n)

2n

=

n×2n

2n

=2^n-1，故③正確．
bn=

f(2n)

2n

=

n×2n

2n

=n，故④正確．
故答案為：①③④．

點評：本題考查數列和函數的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．