Question

已知向量

a

=(sinθ，1)，

b

=(1，cosθ)，
（1）若

a

⊥

.

b

．且-

π

2

＜θ＜

π

2

．  求θ；
（2）求函數(shù)y=|

a

+

.

b

|的單調(diào)增區(qū)間和函數(shù)圖象的對稱軸方程．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量垂直的性質(zhì)可得sinθ+cosθ=0，再根據(jù)θ的范圍，求得θ的值．
（2）化簡函數(shù)的解析式為 y=

．	2 2 sin(θ+ π 4 )+3

，由2kπ-

π

2

≤θ+

π

4

≤2kπ+

π

2

，(k∈Z)
得求函數(shù)y=|

a

+

b

|的單調(diào)增區(qū)間，由x+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z 求得對稱軸方程．

解答：解（1）

a

⊥

b

，  ∴ 

.

a

•

.

b

=0，∴sinθ+cosθ=0．
∵-

π

2

＜θ＜

π

2

 ，    ∴  θ=-

π

4

．
（2）y=|

a

+

b

|=|(sinθ+1，cosθ+1)|=

(sinθ+1)2+(cosθ+1)2

=

sin2θ+2sinθ+1+cos2θ+2cosθ+1

=

2(sinθ+cosθ)+3

=

．	2 2 sin(θ+ π 4 )+3

．
由2kπ-

π

2

≤θ+

π

4

≤2kπ+

π

2

，(k∈Z)得求函數(shù)y=|

a

+

b

|的單調(diào)增區(qū)間是：[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

](k∈Z)．
由x+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z．得對稱軸方程是：x=kπ+

π

4

，k∈Z．

點評：本題考查兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩個向量垂直的性質(zhì)，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的單調(diào)性和對稱性．
化簡函數(shù)的解析式，是解題的關(guān)鍵．