Question

已知函f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分圖象如圖所示：
（1）求ω，φ的值；
（2）設(shè)g（x）=2

2

f（

x

2

）f（

x

2

-

π

8

）-1，當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）通過函數(shù)的圖象求出函數(shù)周期，求出ω，利用f（0）=-1求出φ，得到函數(shù)的解析式．
（2）利用（1）的結(jié)果求出g（x）的表達(dá)式，當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求出2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，然后求出函數(shù)的值域．

解答：解：（1）由圖象知：T=4（

π

2

-

π

4

）=π，則：ω=

2π

T

=2，…（2分）
由f（0）=-1得：sinφ=-1，即：φ=kπ-

π

2

 k∈Z，…（4分）
∵|ω|＜π∴φ=-

π

2

．        …（6分）
（2）由（1）知：f（x）=sin（2x-

π

2

）=-cos2x，…（7分）
∴g（x）=2

2

f（x）f（

x

2

-

π

8

）-1=2

2

cosx[

2

2

 (cosx+sinx)]-1
=cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

），…（10分）
當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，則sin（2x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
∴g（x）的值域?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">[-1，

2

]．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的圖象的求法，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查計(jì)算能力，常考題型．