Question

選修4-4：坐標系與參數方程：
已知直角坐標系xOy，以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，P點的極坐標為(2，

π

3

)，直線l經過點P，傾斜角為α．
（1）寫出點P的直角坐標及直線l的參數方程；
（2）設l與圓ρ=3相交于A、B兩點，求弦AB長度的最小值．

Answer 1

分析：（1）點P（2，

π

3

）的直角坐標為P（1，

3

），由l的傾斜角為α，能求出l的參數方程．
（2）圓ρ=3的直角坐標方程為x²+y²=9，由A、B在直線l上，A、B對應的參數分別為t₁，t₂，將l的參數方程代入x²+y²=9，得t2+(2cosα+2

3

sinα)t-5=0，由此能求出|AB|的最小值．

解答：解：（1）點P（2，

π

3

）的直角坐標為P（1，

3

），
由l的傾斜角為α，則l的參數方程為：

x=1+tcosα y= 3 +tsinα

，（t為參數）．
（2）圓ρ=3的直角坐標方程為x²+y²=9，
∵A、B在直線l上，A、B對應的參數分別為t₁，t₂，
將l的參數方程代入x²+y²=9，
得（1+tcosα）²+（

3

+tsinα）²=9，
化簡，得t2+(2cosα+2

3

sinα)t-5=0，
t1+t2=-(2cosα+2

3

sinα)，
t₁•t₂=-5，
|AB|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

(2cosα+2 3 sinα)2-4×(-5)

=

24+sin2α+8 3 sinαcosα

=

28+4 3 sin2α-4cos2α

=

28+8sin(2α- π 6 )

，
當sin（2α-

π

6

）=-1，即α=

5π

6

時，|AB|的最小值是2

5

．

點評：本題考查參數方程和普通方程的互化，考查兩點間距離公式的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意三角函數知識的靈活運用．