Question

已知二次函數f（x）=x²-2（m-1）x+m²-2m-3，其中m為實數．
（1）求證：不論m取何實數，這個二次函數的圖象與x軸必有兩個交點；
（2）設這個二次函數的圖象與x軸交于點A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁、x₂的倒數和為

2

3

，求這個二次函數的解析式．

Answer 1

分析：（1）寫出與這個二次函數相對應的一元二次方程是x²-2（m-1）x+m²-2m-3=0，根據＞0，得到方程有兩個不相等的實數根，得到這個二次函數的圖象與x軸必有兩個交點．
（2）根據一元二次方程根與系數的關系，確定x₁+x₂=2（m-1），x₁•x₂=m²-2m-3，把要求的代數式整理成只含有兩個根之和與之積的形式，代入含有m的代數式，解關于m的方程即可．

解答：（1）證明：與這個二次函數相對應的一元二次方程是x²-2（m-1）x+m²-2m-3=0，
△=4（m-1）²-4（m²-2m-3）=16＞0，
所以，方程x²-2（m-1）x+m²-2m-3=0必有兩個不相等的實數根，
所以，不論m取何實數，這個二次函數的圖象與x軸必有兩個交點．（6分）
（2）解：由題意，可知x₁、x₂是方程x²-2（m-1）x+m²-2m-3=0的兩個實數根，
所以，x₁+x₂=2（m-1），x₁•x₂=m²-2m-3，
又

1

x1

+

1

x2

=

2

3

，即

x1+x2

x1•x2

=

2

3

，
所以，

2(m-1)

m2-2m-3

=

2

3

，解得m=0或m=5．
所以，所求二次函數的解析式為y=x²+2x-3或y=x²-8x+12．（12分）

點評：本題考查一元二次方程根與系數之間的關系，考查一元二次方程與二次函數之間的關系，本題解題的關鍵是掌握三個二次之間的關系，本題是一個中檔題目．