Question

如圖,某隧道設計為雙向四車道,車道總寬22米,要求通過車輛限高4.5米,隧道全長2.5千米,隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀.

(1)若最大拱高h為6米,則隧道設計的拱寬l是多少?

(2)若最大拱高h不小于6米,則應如何設計拱高h和拱寬l,才能使半個橢圓形隧道的土方工程量最小?

(半個橢圓的面積公式為S=lh,柱體體積為:底面積乘以高.本題結果均精確到0.1米)

Answer 1

1、隧道的拱寬約為33.3米

2、故當拱高約為6.4米、拱寬約為31.1米時,土方工程量最小.

解析:

(1)如圖建立直角坐標系,則點P(11,4.5),橢圓方程為+=1,將b=h=6與點P的坐標代入橢圓方程,得a=,此時l=2a=≈33.3.

因此隧道的拱寬約為33.3米.

(2)方法一:由橢圓方程+=1,得+=1.

因為+≥,即ab≥99,且l=2a,h=b,所以S=lh=≥.

當S取最小值時,有==,

得a=11,b=,

此時l=2a=22≈31.1,h=b≈6.4.

故當拱高約為6.4米、拱寬約為31.1米時,土方工程量最小.

方法二:由橢圓方程+=1,得+=1.

于是b²=·.

a²b²=［a²-121++242］

≥(2+242)=81×121,

即ab≥99,當S取最小值時,

有a²-121=,

得a=11,b=,以下同方法一.