Question

如下圖,某隧道設計為雙向四車道，車道總寬22 m，要求通行車輛限高4.5 m，隧道全長2.5 km，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀.

（1）若最大拱高h為6 m，則隧道設計的拱寬l是多少？

（2）若最大拱高h不小于6 m，則應如何設計拱高h和拱寬l，才能使半個橢圓形隧道的土方工程量最小？（半個橢圓的面積公式為lh，柱體體積為底面積乘以高.結果精確到0.1 m）

Answer 1

解析:當最大拱高h為定值時,隧道設計的拱寬l即為2a；當最大拱高h為變量時,可根據均值定理,得到橢圓面積為最小.

解:（1）如圖建立坐標系,則點P(11,4.5),橢圓方程為=1.將b=h=6與點P坐標代入橢圓方程,得a=,l=2a=≈33.3.故隧道的拱寬約為33.3 m.?

（2）由橢圓方程=1,得=1.?

因為≥

即ab≥99,且l=2a,h=b,?

所以S=lh=≥.?

當S取最小值時,有,得a=11,b=,此時,l=2a=22≈31.1,h=b≈6.4.?

故當拱高約為6.4 m,拱寬約為31.1 m時,土方工程量最小.