Question

已知函數y=f（x）是R上的奇函數，當x≤0時，f(x)=

3x

9x+1

-

1

2

，
（1）判斷并證明y=f（x）在（-∞，0）上的單調性；
（2）求y=f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用導數法判斷函數的單調性；
（2）首先把函數解析式變形，
再借用對數函數值域和基本不等式求出x≤0時f（x）的值域，
最后利用奇函數圖象關于原點對稱的性質求出x≥0時的值域，進而問題解決．

解答：（1）答：函數y=f（x）在（-∝，0）上是增函數．
證明：f′（x）=(

3x

9x+1

)′-(

1

2

)′=

3xln3(9x+1)-3x•9x•2ln3

(9x+1)2

=

3xln3(1-9x)

(9x+1)2

其中3^x＞0，ln3＞0，且x＜0時，0＜9^x＜1，
所以f′（x）＞0，
所以函數y=f（x）在（-∝，0）上是增函數．
（2）解：當x≤0時，f(x)= 

3x

9x+1

-

1

2

= 

3x

32x+1

-

1

2

=

1

3x+ 1 3x

-

1

2

因為3x+

1

3x

≥2，則3x+

1

3x

∈[2，+∞），
所以f（x）在（-∞，0]上的值域是（-

1

2

，0]，
又f（x）是R上的奇函數，
所以f（x）在[0，+∞）上的值域是[0，

1

2

），
故y=f（x）在R上的值域是(-

1

2

，

1

2

)．

點評：本題主要考查導數法判斷函數的單調性和奇函數的圖象特征，同時考查對數函數的值域及基本不等式．