Question

如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=60°，S為平面ABCD外一點，△SAD為正三角形，SB=

6

，M、N分別為SB、SC的中點．
（Ⅰ）求證：平面SAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A-SB-C的余弦值；
（Ⅲ）求四棱錐M-ABN的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明平面SAD⊥平面ABCD，我們只要在一個平面內找出另一平面的垂線，取AD的中點O，連接SO，BO，即證SO⊥平面ABCD，從而只需證SO垂直于平面內的兩條相交直線；
（Ⅱ）先證明AM⊥SB，MN⊥SB，所以∠AMN為二面角A-SB-C的平面角，再由OM⊥平面SBC，可得∠OMN=90°，從而可得sin∠AMO=

AO

AM

=

10

5

，進而可求二面角A-SB-C的余弦值；
（Ⅲ）先求出S△BMN=

6

4

，根據OM⊥平面SBC，可得O點到平面BNM的距離，再利用AO∥平面SBC，可得A點到平面BNM的距離等于O點到平面BNM的距離，從而可求三棱錐M-ABN的體積．

解答：（Ⅰ）證明：取AD的中點O，連接SO，BO
因為△SAD為正三角形，所以SO⊥AD，且SO=

3

又菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=60°，所以BO=

3

而SB=

6

，所以SB²=SO²+BO²，即SO⊥BO
因為BO∩AD=O
所以SO⊥平面ABCD，又SO⊆平面SAD
所以平面SAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：因為SA=AB=2，點M為SB的中點，所以AM⊥SB
由（Ⅰ）知BC⊥SO，又菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=60°，所以BC⊥BO
因為SO∩BO=O
所以BC⊥面SOB
因為SB⊆面SOB
所以BC⊥SB
因為點N為SC的中點，所以MN∥BC，故MN⊥SB
所以∠AMN為二面角A-SB-C的平面角
又平面SOB⊥平面SBC，連接OM，則OM⊥SB，
所以OM⊥平面SBC
所以∠OMN=90°
在直角三角形AOM中，AO=1，MO=

6

2

，所以AM=

10

2

，
所以sin∠AMO=

AO

AM

=

10

5

∴cos∠AMN=cos(90°+∠AMO)=-sin∠AMO=-

10

5

∴二面角A-SB-C的余弦值-

10

5

；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，MN⊥SB，因為MN=

1

2

BC=1，MB=

6

2

，
所以S△BMN=

6

4

又OM⊥平面SBC，所以O點到平面BNM的距離為MO=

6

2

因為AO∥BC，AO?平面SBC，所以AO∥平面SBC
所以A點到平面BNM的距離等于O點到平面BNM的距離MO=

6

2

所以三棱錐M-ABN的體積為

1

3

×S△BMN×OM=

1

3

×

6

4

×

6

2

=

1

4

點評：本題以四棱錐為載體，考查面面垂直的判定，考查面面角，考查三棱錐的體積，解題的關鍵是正確運用面面垂直的判定定理，尋找面面角，同時考查學生轉化問題的能力．