Question

如圖，在四棱錐A-ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四個側面都是等邊三角形，AC與BD的交點為O，E為側棱SC上一點.

（1）當E為側棱SC的中點時，求證：SA∥平面BDE；

（2）求證：平面BDE⊥平面SAC；

（3）當二面角E-BD-C的大小為45°時，試判斷點E在SC上的位置，并說明理由.

 

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）連接，由條件可得∥.

 因為平面，平面，

  所以∥平面.      

（Ⅱ）法一：證明：由已知可得，,是中點，

所以，

又因為四邊形是正方形，所以.

因為，所以.

又因為，所以平面平面.   -

（Ⅱ）法二：證明：由（Ⅰ）知，.

建立如圖所示的空間直角坐標系.

設四棱錐的底面邊長為2，

則，，，

，，.

所以，.

設（），由已知可求得.

所以，.

設平面法向量為，

則 即  

令，得. 

易知是平面的法向量.

因為，

所以，所以平面平面.          -------------------（8分）

（Ⅲ）解：設（），由（Ⅱ）可知，

平面法向量為.

因為，

所以是平面的一個法向量.

由已知二面角的大小為.

所以，

所以，解得.

所以點是的中點.                        

【解析】略