Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，E，F分別為PC，CD的中點，DE=EC．
（1）求證：平面ABE⊥平面BEF；
（2）設PA=a，若平面EBD與平面ABCD所成銳二面角θ∈[

π

4

，

π

3

]，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題目給出的條件，可得四邊形ABFD為矩形，說明AB⊥BF，再證明AB⊥EF，由線面垂直的判定可得AB⊥面BEF，再根據面面垂直的判定得到平面ABE⊥平面BEF；
（2）以A點為坐標原點，AB、AD、AP所在直線分別為x、y、z軸建立空間坐標系，利用平面法向量所成交與二面角的關系求出二面角的余弦值，根據給出的二面角的范圍得其余弦值的范圍，最后求解不等式可得a的取值范圍．

解答：證明：如圖，

（1）∵AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，F為CD的中點，
∴ABFD為矩形，AB⊥BF．
∵DE=EC，∴DC⊥EF，又AB∥CD，∴AB⊥EF
∵BF∩EF=F，∴AB⊥面BEF，又AE?面ABE，
∴平面ABE⊥平面BEF．
（2）解：∵DE=EC，∴DC⊥EF，又PD∥EF，AB∥CD，∴AB⊥PD
又AB⊥PD，所以AB⊥面PAD，AB⊥PA．
以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間坐標系，
則B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，a），C（2，2，0），E（1，1，

a

2

）

BD

=(-1，2，0)，

BE

=(0，1，

a

2

)
平面BCD的法向量

n1

=(0，0，1)，
設平面EBD的法向量為

n2

=(x，y，z)，
由

n2 ⊥ BD n2 ⊥ BE

⇒

n2 • BD =0 n2 • BE =0

，即

-x+2y=0 y+ az 2 =0

，取y=1，得x=2，z=-

2

a

則

n2

=(2，1，-

2

a

)．
所以cosθ=

2 a

4+1+ 4 a2

=

2

5a2+4

．
因為平面EBD與平面ABCD所成銳二面角θ∈[

π

4

，

π

3

]，
所以cosθ∈[

1

2

，

2

2

]，即

2

5a2+4

∈[

1

2

，

2

2

]．
由

2

5a2+4

≥

1

2

得：-

2 15

5

≤a≤

2 15

5

由

2

5a2+4

≤

2

2

得：a≤-

2 5

5

或a≥

2 5

5

．
所以a的取值范圍是[

2 5

5

，

2 15

5

]．

點評：本題考查了面面垂直的判定，考查了利用空間向量求二面角的大小，解答的關鍵是建立正確的空間坐標系，該題訓練了學生的計算能力，是中檔題．