Question

5．已知函數f（x）=e^x+mx-3，曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=-2．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當x＞0時，若不等式（t-x）e^x＜t+2恒成立，求實數t的最大整數值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件，曲線在（0，f（0））處的切線斜率k=0，即f'（0）=1+a=0，可得a=-1，f'（x）=e^x-1，再通過解不等式即可求出單調區間；
（Ⅱ）利用轉化思想，x＞0時，不等式（m-x）e^x＜m+2等價于t＜$\frac{{xe}^{x}+2}{{e}^{x}-1}$，然后構造新函數，記g（x），根據（1）的結論可得存在x₀∈（1，2），使得g'（x₀）=0，且g（x）_min=g（x₀），再通過化簡運算可得g（x）_min=x₀+1，由x₀∈（1，2），即可求出t的最大整數值．

解答 解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（-∞，+∞），f'（x）=e^x+m，
由條件，f'（0）=1+m=0，得m=-1，則f'（x）=e^x-1
由f'（x）=e^x-1＞0得x＞0，由f'（x）＜0得x＜0，
故函數f（x）的單調遞增區間為（0，+∞），單調遞減區間為（-∞，0）．
（Ⅱ）x＞0時，不等式（t-x）e^x＜t+2等價于：
t＜$\frac{{xe}^{x}+2}{{e}^{x}-1}$，令g（x）=$\frac{{xe}^{x}+2}{{e}^{x}-1}$，
∴g′（x）=$\frac{{e}^{x}{（e}^{x}-x-3）}{{{（e}^{x}-1）}^{2}}$，
由（1）得u（x）=e^x-x-3在（0，+∞）上單調遞增，
又∵u（1）＜0，u（2）＞0，
∴g'（x）在（0，+∞）上有唯一零點x₀，且1＜x₀＜2，
∴當x∈（1，x₀）時，g'（x）＜0，當x∈（x₀+∞）時，g'（x）＞0，
∴g（x）_min=g（x₀），由g'（x₀）=0得e^x₀=x₀+3，
∴g（x）_min=g（x₀）=x₀+1，
∵1＜x₀＜2，∴2＜g（x₀）＜3，
∵t＜g（x₀），∴t的最大整數值為2．

點評 本題考查了利用導數求切線的斜率和函數的單調區間，以及函數恒成立問題，著重考查了數學轉化思想方法，以及函數最值的求法，利用參數分離法是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．