Question

7．已知平面直角坐標系內三點A、B、C在一條直線上，滿足$\overrightarrow{OA}$=（-3，m+1），$\overrightarrow{OB}$=（n，3），$\overrightarrow{OC}$=（7，4），且$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，其中O為坐標原點．
（1）求實數m，n的值；
（2）設△AOC的重心為G，且$\overrightarrow{OG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$，求cos∠AOC的值．

Answer 1

分析 （1）由題意，$\overrightarrow{AB}∥\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{OA}⊥$$\overrightarrow{OB}$，利用平面向量的坐標表示列出方程組，求出m、n；
（2）由三角形重心的性質，結合平面向量的坐標運算，利用夾角公式即可求出答案．

解答 解：（1）因為三點A，B，C在一條直線上，所以$\overrightarrow{AB}∥\overrightarrow{BC}$，
又$\overrightarrow{AB}=（n+3，2-m）$，$\overrightarrow{BC}=（7-n，1）$，
所以n+3=（7-n）（2-m），①
因為$\overrightarrow{OA}⊥$$\overrightarrow{OB}$，所以-3n+3（m+1）=0，即n=m+1，②
由①、②解得$\left\{\begin{array}{l}m=8\\ n=9\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}m=1\\ n=2\end{array}\right.$；
（2）因為G為△OAC的重心，且$\overrightarrow{OG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$，
所以點B為線段AC的中點，
所以m=1，n=2；
所以$\overrightarrow{OA}=（-3，2）$，$\overrightarrow{OC}=（7，4）$，
因此$cos∠AOC=\frac{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}}}{{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OC}|}}=\frac{-21+8}{{\sqrt{13}•\sqrt{65}}}=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

點評 本題考查了平面向量的坐標表示以及三角形重心的性質和平面向量的夾角公式問題，是綜合題．