Question

設是橢圓的兩點，，，且，橢圓離心率，短軸長為2，O為坐標原點．

（1）求橢圓方程；

（2）若存在斜率為的直線AB過橢圓的焦點（為半焦距），求的值；

（3）試問的面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

 

Answer 1

（1） （2） （3）三角形的面積為定值1

【解析】

試題分析：（1）由解得

（2）設AB方程為，由

應用韋達定理．

利用建立方程求解.

（3）討論當ＡＢ的斜率不存在和當AB斜率存在的情況，

在斜率存在時，設AB方程為

由　　

應用韋達定理，利用,得到,

計算三角形的面積為定值1．

（1）由解得 2分

所求橢圓方程為 3分

（2）設AB方程為，由

． 4分

由已知:

5分

∴ 6分

解得 7分

（3）當ＡＢ的斜率不存在時，則，，由得，

又，得，， 8分

當AB斜率存在時，設AB方程為

由　　

． 10分

又,即,

知, 11分

∴=

===1

所以三角形的面積為定值1． 13分

考點：橢圓的幾何性質，直線方程，直線與圓錐曲線的位置關系，平面向量的數量積，分類討論思想.