Question

（本小題滿分14分）

已知函數為自然對數的底數）

（1）求的單調區間，若有最值，請求出最值；

（2）是否存在正常數，使的圖象有且只有一個公共點，且在該公共點處有共同的切線？若存在，求出的值，以及公共點坐標和公切線方程；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）

    ①當恒成立

    上是增函數，只有一個單調遞增區間，沒有最值…3分

    ②當時，，

    若，則上單調遞減；

    若，則上單調遞增，

    時，有極小值，也是最小值，

    即…………6分

    所以當時，的單調遞減區間為

    單調遞增區間為，最小值為，無最大值…………7分

   （2）方法一，若與的圖象有且只有一個公共點，

    則方程有且只有一解，所以函數有且只有一個零點………8分

    由（1）的結論可知…………10分

    此時，  

    的圖象的唯一公共點坐標為

    又的圖象在點處有共同的切線，

    其方程為，即…………13分

    綜上所述，存在，使的圖象有且只有一個公共點，

且在該點處的公切線方程為…………14分

    方法二：設圖象的公共點坐標為，

    根據題意得

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即

    由②得，代入①得    從而…………10分

    此時由（1）可知 時，

    因此除外，再沒有其它，使…………13分

    故存在，使的圖象有且只有一個公共點，且在該公共點處有共同的切線，易求得公共點坐標為，公切線方程為…………14分

 

【解析】略