Question

設平面上向量

a

=（cosα，sinα）（0°≤α＜360°），

b

=（-

1

2

，

3

2

）．
（1）試證：向量

a

+

b

與

a

-

b

垂直；
（2）當兩個向量

3

a

+

b

與

a

-

3

b

的模相等時，求角α．

Answer 1

分析：（1）利用向量加減法的坐標運算求出向量

a

+

b

與

a

-

b

的坐標，由向量數(shù)量積的坐標運算化簡可得向量

a

+

b

與

a

-

b

的數(shù)量積為0，則結論得證；
（2）利用向量的數(shù)乘運算和加減法運算求出向量

3

a

+

b

與

a

-

3

b

的坐標，由模相等得到模的平方向等，轉化為向量的平方相等后展開整理，由三角函數(shù)的值及角的范圍可得答案．

解答：（1）證明：因為

a

=(cosα，sinα)，

b

=(-

1

2

，

3

2

)，
所以

a

+

b

=(cosα-

1

2

，sinα+

3

2

)，

a

-

b

=(cosα+

1

2

，sinα-

3

2

)．
(

a

+

b

)•(

a

-

b

)=(cosα-

1

2

，sinα+

3

2

)•(cosα+

1

2

，sinα-

3

2

)
=(cosα-

1

2

)(cosα+

1

2

)+(sinα+

3

2

)(sinα-

3

2

)
=cos2α-

1

4

+sin2α-

3

4

=0．
所以向量

a

+

b

與

a

-

b

垂直；
（2）解：由|

a

|=1，|

b

|=1，且|

3

a

+

b

|=|

a

-

3

b

|，平方得(

3

a

+

b

)2=(

a

-

3

b

)2，
整理得2

a

2-2

b

2+4

3

a

•

b

=0，即

a

•

b

=0．
所以

a

•

b

=(cosα，sinα)•(-

1

2

，

3

2

)=-

1

2

cosα+

3

2

sinα=0，
即cos（60°+α）=0，或tanα=

3

3

．
因為0°≤α＜360°，所以α=30°或α=210°．

點評：本題考查向量的數(shù)量積判斷兩個向量的垂直關系，考查了數(shù)學轉化思想方法，訓練了三角函數(shù)的已知三角函數(shù)值求角的方法，考查了學生的計算能力，是中檔題．