Question

已知O是線段AB外一點，若

OA

=

a

，

OB

=

b

．
（1）設點P、Q是線段AB的三等分點，試用向量

a

、

b

表示

OP

+

OQ

；
（2）如果在線段AB上有若干個等分點，你能得到什么結論？請證明你的結論．說明：第（2）題將根據結論的一般性程度給予不同的評分．

Answer 1

分析：（1）由三角形法則及向量共線的數乘表示，分別用向量

a

、

b

表示出

OP

，

OQ

，相加即得用向量

a

、

b

表示

OP

+

OQ

的表達式；
（2）可先對二等分點，四等分點進行探究，歸納得出猜想

OA1

+

OA2

+…+

OAn-1

=

n-1

2

(

a

+

b

)，再數學歸納法證明結論．

解答：解：（1）如圖：點P、Q是線段AB的三等分點

OP

=

OA

+

AP

=

OA

+

1

3

(

OB

-

OA

)，
則

OP

=

2

3

a

+

1

3

b

，同理

OQ

=

1

3

a

+

2

3

b

，（2分）
所以

OP

+

OQ

=

a

+

b

（4分）
（2）層次1：設A₁是AB的二等分點，則OA1=

a + b

2

；
設A₁、A₂、A₃是AB的四等分點，則

OA1

+

OA2

+

OA3

=

3( a + b )

2

等等（結論（2分），證明2分）
層次2：設A₁，A₂，，A_n-1是AB的n等分點，則

OAk

+

OAn-k

=

OA

+

OB

等；（結論（2分），證明4分）
層次3：設A₁，A₂．，…，A_n-1是AB的n等分點，
則

OA1

+

OA2

+…+

OAn-1

=

n-1

2

(

a

+

b

)；（結論（3分），證明7分）
證：A₁，A₂，，A_n-1是線段n≥2的Sn-1=

1

4

a

2 n

+

1

2

an-1+

1

4

等分點，先證明這樣一個基本結論：

OAk

+

OAn-k

=

OA

+

OB

（1≤k≤n-1，n、k∈N^*）．
由

OAk

=

OA

+

AAk

，

OAn-k

=

OB

+

BAn-k

，
因為

AAk

和

BAn-k

是相反向量，
則

AAk

+

BAn-k

=0，
所以

OAk

+

OAn-k

=

OA

+

OB

．
記S=

OA1

+

OA2

+

OA3

+…+

OAn-2

+

OAn-1

，
S=

OAn-1

+

OAn-2

+…+

OA2

+

OA1

相加得2S=(

OA1

+

OAn-1

)+(

OA2

+

OAn-2

)+…+(

OAn-1

+

OA1

)=(n-1)(

OA

+

OB

)
∴

OA1

+

OA2

+…+

OAn-1

=

n-1

2

(

a

+

b

)

點評：本題考查平面向量的綜合題，解題的關鍵是熟練掌握向量的運算法則與向量的共線條件，歸納推理的思想，數學歸納法證明方程的方法，本題中先猜想，再用數學歸納法進行證明，難度較大，解題時要注意運算變形時認真、嚴謹，避免因運算失誤導致解題失敗．