Question

已知函數y=f（x）=4^x-a•2^x+1+1（a∈R），x∈[0，2]，求y=f（x）的最小值．（用a表示）

Answer 1

分析：令t=2^x，則可轉化為求函數y=g（t）=t²-2at+1（1≤t≤4），對a進行分類討論即可解得．

解答：解：f（x）=4^x-a•2^x+1+1=（2^x）²-2a•2^x+1，
令t=2^x，因為x∈[0，2]，所以t∈[1，4]，
所以y=g（t）=t²-2at+1（1≤t≤4），
對稱軸為t=a，
①當a＜1時，y=g（t）在[1，4]上單調遞增，故y_min=g（1）=1-2a+1=2-2a；
②當1≤a≤4時，y=（t-a）²+1-a²，ymin=g(a)=a2-2a2+1=1-a2；
③當a＞4時，y=g（t）在[1，4]上單調遞減，y_min=g（4）=16-8a+1=17-8a；
綜上所述，ymin=

2-2a   (a＜1) 1-a2    (1≤a≤4) 17-8a  (a＞4)

．

點評：通過換元，對原函數進行變形，轉化為二次函數的最值問題是解決本題的關鍵所在．