Question

已知數列{a_n}的各項均為整數，其前6項依次構成等比數列，且從第5項起依次構成等差數列．設數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₄=4，a₈=-1．
（1）求滿足S_n＜0的n的最小值；
（2）是否存在正整數m，使得a_m•a_m+2+a_m-a_m+2=1成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先確定數列前6項的公比，等差數列的公差，求得數列的和，利用S_n＜0，即可求得結論；
（2）假設存在正整數m，使得a_m•a_m+2+a_m-a_m+2=1成立，則（a_m-1）（a_m+2+1）=0，由此可得結論．

解答：解：（1）設數列前6項的公比為q，則a₅=4q，a₆=4q²，
∴等差數列的公差為4q²-4q
∵a₈=-1，∴4q+3（4q²-4q）=-1
∴12q²-8q+1=0
∴q=

1

2

或q=

1

6

∵數列{a_n}的各項均為整數，
∴q=

1

2

，
∴等差數列的公差為-1
∴當n≤6時，a_n=2^6-n，當n≥7時，a_n=7-n，
∴S_n=

64×(1- 1 2n )，n≤6 63+ (n-6)(7-n) 2 ，n≥7

若63+

(n-6)(7-n)

2

＜0，則n≥18
∴滿足S_n＜0的n的最小值為18；
（2）假設存在正整數m，使得a_m•a_m+2+a_m-a_m+2=1成立，則（a_m-1）（a_m+2+1）=0
∴a_m=1或a_m+2=-1
∴m=6．

點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合，考查數列的求和，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．