Question

已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x＞0時，f（x）=2x³+mx²+（1-m）x．
（I）當m=2時，求f（x）的解析式；
（II）設曲線y=f（x）在x=x₀處的切線斜率為k，且對于任意的x₀∈[-1，1]-1≤k≤9，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（I）∵f（x）是定義在R上的奇函數，∴f（0）=0．
當x＞0時，f（x）=2x³+mx²+（1-m）x．
當x＜0時，∵f（x）=-f（-x）∴f（x）=-（-2x³+mx²-（1-m）x）=2x³-mx²+（1-m）x∴．
當m=2時，∴
（Ⅱ）由（I）得：∴
曲線y=f（x）在x=x₀處的切線斜率，對任意的x₀∈[-1，1]，總能不小于-1且不大于9，
則在任意x₀∈[-1，1]時，-1≤f'（x）≤9恒成立，
∵f'（x）是偶函數
∴對任意x₀∈（0，1]時，-1≤f'（x₀）≤9恒成立
1⁰當時，由題意得
∴0≤m≤2
2⁰當時
∴
∴-6≤m＜0
3⁰當時∴
∴-8≤m＜-6
綜上：-8≤m≤2
∴實數m的取值范圍是{m|-8≤m≤2}．
分析：（I）f（x）是定義在R上的奇函數，設x＜0，則-x＞0應用f（x）=2x³+mx²+（1-m）x求解，再由f（0）=0得解．
（Ⅱ）因為曲線y=f（x）在x=x₀處的切線斜率為k所以由（I）求導
再由對任意的x₀∈[-1，1]，總能-1≤k≤9，則在任意x₀∈[-1，1]時，-1≤f'（x）≤9恒成立，又因為f'（x）是偶函數∴對任意x₀∈（0，1]時，-1≤f'（x₀）≤9恒成立即可．
點評：本題主要考查利用奇偶性求對稱區間上的解析式和二次函數研究最值解決恒成立問題．