Question

設(shè)函數(shù)f（x）=1-e^-x，證明：當(dāng)x＞-1時(shí)，f（x）≥

x

x+1

．

Answer 1

分析：把給出的不等式f（x）≥

x

x+1

等價(jià)變形，然后構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號判斷原函數(shù)的單調(diào)性，從而求出最小值，原不等式得到證明．

解答：證明：由1-e-x≥

x

x+1

?e^x≥1+x．
當(dāng)x＞-1時(shí)，f（x）≥

x

x+1

當(dāng)且僅當(dāng)e^x≥1+x．
令g（x）=e^x-x-1，則g′（x）=e^x-1．
當(dāng)x≥0時(shí)，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
當(dāng)x≤0時(shí)，g′（x）≤0，g（x）在（-∞，0]上為減函數(shù)，
于是g（x）在x=0處達(dá)到最小值，因而當(dāng)x∈R時(shí)g（x）≥g（0），
即e^x≥1+x．
所以當(dāng)x＞-1時(shí)，f（x）≥

x

x+1

．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了函數(shù)構(gòu)造法，是中檔題．