Question

【題目】正四棱錐V﹣ABCD中，底面ABCD是邊長2為的正方形，其他四個側面都是側棱長為 的等腰三角形．
（1）求正四棱錐V﹣ABCD的體積．
（2）求二面角V﹣BC﹣A的平面角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：連結AC，BD，交于點O，連結VO，

∵正四棱錐V﹣ABCD中，底面ABCD是邊長2為的正方形，

其他四個側面都是側棱長為 的等腰三角形，

∴AO= = = ，VO= = ，

∴正四棱錐V﹣ABCD的高VO= ，

∴正四棱錐V﹣ABCD的體積：

VV﹣ABCD= = = ．

（2）解：取BC中點E，連結OE，VE，

則OE⊥BC，VE⊥BC，∴∠VEO是二面角V﹣BC﹣A的平面角，

∵VO= OE=1，

∴tan = ，∴∠VEO=60°．

∴二面角V﹣BC﹣A的平面角的大小為60°．

【解析】（1）連結AC，BD，交于點O，連結VO，求出正四棱錐V﹣ABCD的高VO= ，由此能求出正四棱錐V﹣ABCD的體積．（2）取BC中點E，連結OE，VE，則OE⊥BC，VE⊥BC，∠VEO是二面角V﹣BC﹣A的平面角，由此能求出二面角V﹣BC﹣A的平面角的大小．