Question

【題目】四個同樣大小的球，，，兩兩相切，點是球上的動點，則直線與直線所成角的正弦值的取值范圍為（ ）．

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

三棱錐是正四面體，正四面體的對棱互相垂直，因此平移直線至位置，則，過、的平面截球得一個大圓，過作大圓的兩條切線、.當點運動至切點時，最小，當點運動至切點時，最大.分別求出角的最大值和最小值,再求正弦值即可.

解：

由四個同樣大小的球，，，兩兩相切，

則可以把，，，看成正四面體的四個頂點，

球的半徑為棱長的一半，記球的半徑為1，則正四面體的棱長為2．

平移直線至位置，過，的平面截球得一個大圓，

過作大圓的兩條切線，，

由線面垂直易證，由圖可知，

當點運動至切點時，最小，

當點運動至切點時，最大，

設，則，

在中，，則，

即直線與直線所成角，

則直線與直線所成角的正弦值的取值范圍為.

故選：C．