Question

已知函數．
（Ⅰ）若函數在區間（其中a＞0）上存在極值，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）如果當x≥1時，不等式恒成立，求實數k的取值范圍；
（Ⅲ）求證[（n+1）！]²＞（n+1）•e^n-2（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出函數的極值，在探討函數在區間（其中a＞0）上存在極值，尋找關于a的不等式，求出
實數a的取值范圍；
（Ⅱ）如果當x≥1時，不等式恒成立，把k分離出來，轉化為求函數最值．
（Ⅲ）借助于（Ⅱ）的結論證明不等式．
解答：解：（Ⅰ）因為，x＞0，則，
當0＜x＜1時，f′（x）＞0；當x＞1時，f′（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上單調遞增；在（1，+∞）上單調遞減，
所以函數f（x）在x=1處取得極大值．
因為函數f（x）在區間（其中a＞0）上存在極值，
所以，解得．
（Ⅱ）不等式，
即為，記，
所以，
令h（x）=x-lnx，則，∵x≥1，∴h′（x）≥0．
∴h（x）在[1，+∞）上單調遞增，∴[h（x）]_min=h（1）=1＞0，
從而g′（x）＞0
故g（x）在[1，+∞）上也單調遞增，
∴[g（x）]_min=g（1）=2，所以k≤2
（3）由（2）知：恒成立，
即，
令x=n（n+1），則，
所以，
，，
．
疊加得：ln[1×2²×3²×
=
則1×2²×3²×n²×（n+1）＞e^n-2，
所以[（n+1）！]²＞（n+1）•e^n-2（n∈N^*）
點評：考查應用導數研究函數的極值最值問題，有關恒成立的問題一般采取分離參數，轉化為求函數的最值問題，體現了轉化的思想方法，證明數列不等式，借助函數的單調性或恒成立問題加以證明．屬難題．