Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=（1﹣x2）ex ．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤ax+1，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）=（1﹣x2）ex ， x∈R，
所以f′（x）=（1﹣2x﹣x2）ex ，
令f′（x）=0可知x=﹣1± ，
當(dāng)x＜﹣1﹣ 或x＞﹣1+ 時(shí)f′（x）＜0，當(dāng)﹣1﹣ ＜x＜﹣1+ 時(shí)f′（x）＞0，
所以f（x）在（﹣∞，﹣1﹣ ），（﹣1+ ，+∞）上單調(diào)遞減，在（﹣1﹣ ，﹣1+ ）上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）由題可知f（x）=（1﹣x）（1+x）ex ． 下面對a的范圍進(jìn)行討論：
①當(dāng)a≥1時(shí)，設(shè)函數(shù)h（x）=（1﹣x）ex ， 則h′（x）=﹣xex＜0（x＞0），
因此h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
又因?yàn)閔（0）=1，所以h（x）≤1，
所以f（x）=（1﹣x）h（x）≤x+1≤ax+1；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，設(shè)函數(shù)g（x）=ex﹣x﹣1，則g′（x）=ex﹣1＞0（x＞0），
所以g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
又g（0）=1﹣0﹣1=0，
所以ex≥x+1．
因?yàn)楫?dāng)0＜x＜1時(shí)f（x）＞（1﹣x）（1+x）2 ，
所以（1﹣x）（1+x）2﹣ax﹣1=x（1﹣a﹣x﹣x2），
取x0= ∈（0，1），則（1﹣x0）（1+x0）2﹣ax0﹣1=0，
所以f（x0）＞ax0+1，矛盾；
③當(dāng)a≤0時(shí)，取x0= ∈（0，1），則f（x0）＞（1﹣x0）（1+x0）2=1≥ax0+1，矛盾；
綜上所述，a的取值范圍是[1，+∞）．
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．
（Ⅱ）化簡f（x）=（1﹣x）（1+x）ex ． f（x）≤ax+1，下面對a的范圍進(jìn)行討論：
①當(dāng)a≥1時(shí)，②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，設(shè)函數(shù)g（x）=ex﹣x﹣1，則g′（x）=ex﹣1＞0（x＞0），推出結(jié)論；③當(dāng)a≤0時(shí)，推出結(jié)果，然后得到a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．