Question

在△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊長，已知cos2A+3cosA-2=0．
（Ⅰ）若a²-c²=b²-mbc，求實數m的值；
（Ⅱ）若a=

3

，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角的余弦函數公式化簡已知等式，求出cosA的值，由已知等式變形表示出cosA，即可求出實數m的值；
（Ⅱ）由第一問得出cosA的值，確定出sinA的值，利用余弦定理列出關系式，根據基本不等式變形求出bc的最大值，利用三角形的面積公式求出面積的最大值即可．

解答：解：（Ⅰ） 由cos2A+3cosA-2=0得：2cos²A+3cosA-2=0，
解得：cosA=

1

2

，
而a²-c²=b²-mbc，可以變形為

b2+c2-a2

2bc

=

m

2

，
即cosA=

m

2

=

1

2

，
則m=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA=

1

2

，則sinA=

3

2

，
又

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∴bc=b²+c²-a²≥2bc-a²，即bc≤a²，
則S_△ABC=

1

2

bcsinA≤

3 a2

4

=

3 3

4

．

點評：此題考查了余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理是解本題的關鍵．