Question

已知命題p：函數f（x）=（2a-6）^x在R上是減函數，命題q：關于x的方程x²-3ax+2a²+1=0的兩個實根均大于0，若p∨q為真，p∧q為假，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：分別求到當命題p，q為真時對應的集合，而由題意可知：p真q假或p假q真，分別求解不等式組的解集即可．

解答：解：若p為真，則f（x）=（2a-6）^x在R上單調遞減，
∴0＜2a-6＜1，∴3＜a＜

7

2

；
若q為真，令f（x）=x²-3ax+2a²+1，則應滿足

△=(-3a)2-4(2a2+1)≥0 - -3a 2 ＞0 f(0)=2a2+1＞0

，化簡得

a≥2，或a≤-2 a＞0 a∈R

，
解得a≥2，又由題意應有p真q假或p假q真，

①若p真q假，則

3＜a＜ 7 2 a＜2

，無解；
②若p假q真，則

a≤3，或a≥ 7 2 a≥2

，解得2≤a≤3，或a≥

7

2

，
所以實數a的取值范圍是：2≤a≤3，或a≥

7

2

點評：本題考查復合命題的真假，涉及指數函數的單調性和一元二次方程根的分布，屬中檔題．