Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，ÐACB=90°，側(cè)棱AA₁=2，D、E分別是CC₁與A₁B的中點，點E在平面ABD上的射影是DABD的垂心G．

（1）求A₁B與平面ABD所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；

（2）求點A₁到平面AED的距離．

Answer 1

答案：
解析：

本小題主要考查線面關(guān)系和直棱柱等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力和推理運算能力． （1）解法一：邊結(jié)BG，則BG是BE在面ABD的射影，即ÐEBG是A1B與平面ABD所成的角． 設(shè)F為AB中點，連結(jié)EF、FC， ∵ D，E分別是CC1，A1B的中點，又DC^平面ABC，∴ CDEF為矩形，連結(jié)DE，G是DADB的重心，∴ GÎDF，在直角三角形EFD中EF2=FG×FD=FD2，∵ EF=1，∴ FD=，于是E=，，∵ FC=CD=，∴ AB=．A1B=，EB=． ∴ ． ∴ A1B與平面ABD所成的角是． 解法二：連結(jié)BG，則BG是BE在面ABD的射影，即ÐA1BG是A1B與平面ABD所成的角，建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點為O，設(shè)CA=2a． 則A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)． ∴ ，∴ ．解得a=1． ∴ ． ∴ ． A1B與平面ABD所成角是． （2）連結(jié)A1D，有 ∵ ED^AB，ED^EF，又EF∩AB=F，∴ ED^平面A1AB，設(shè)A1到平面AED的距離為h，則SDAED×h=，，． ∴ ．即A1到平面AED的距離為．