Question

數列{a_n}的前n項和記為S_n，已知a₁=1，n•a_n+1=（n+2）S_n（n=1，2，3…）．
（1）證明數列{

Sn

n

}是公比為2的等比數列；
（2）求S_n關于n的表達式．
（3）請猜測是否存在自然數N₀，對于所有的n＞N₀有S_n＞2007恒成立，并證明．

Answer 1

分析：（1）把n•a_n+1=（n+2）S_n代入a_n+1=S_n+1-S_n中化簡整理得

Sn+1

n+1

=2

Sn

n

．進而可推斷數列{

Sn

n

}是公比為2的等比數列．
（2）根據又

S1

1

求的首項，進而根據等比數列的通項公式求的數列{

Sn

n

}的通項公式，進而求的S_n關于n的表達式．
（3）把（2）中求的S_n關于n的表達式代入

Sn+1

Sn

中，結果大于1，進而可判斷{S_n}為遞增數列，進而可知存在N₀=8，對所有n＞N₀有S_n＞2007恒成立．

解答：解：（1）證明：∵a_n+1=S_n+1-S_n，
由已知a_n+1=

n+2

n

S_n，∴

n+2

n

S_n=S_n+1-S_n，
（n+2）S_n=nS_n+1-nS_n，2（n+1）S_n=nS_n+1，

Sn+1

n+1

=2

Sn

n

．又

S1

1

=

a1

1

=1，
∴{

Sn

n

}是以1為首項，2為公比的等比數列
（2）∵

Sn

n

=1•2^n-1=2^n-1，∴S_n=n•2^n-1．
（3）猜測：存在N₀=8，當n＞8時有S_n＞2007恒成立
∵

Sn+1

Sn

=

(n+1)•2n

n•2n-1

=

2(n+1)

n

＞1，
∴{S_n}為遞增數列，
∴存在N₀=8，對所有n＞N₀有S_n＞2007恒成立

點評：本題主要考查了等比關系的確定和數列與不等式問題的綜合考查．數列與函數、不等式、對數等問題的綜合考查是近幾年高考的熱點問題．