Question

如圖正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長為a，在側棱BB₁上截取，在側棱CC₁上截取CE=a，過A，D，E作棱柱的截面．
（1）求證：截面ADE⊥側面ACC₁A₁；
（2）求截面ADE與底面ABC所成的角．

Answer 1

解：（1）證明：取AE、AC的中點O、S，連接DO，OS，BS，
正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長為a，在側棱BB₁上截取，
在側棱CC₁上截取CE=a，
易得四邊形OSBD是矩形，并且SB⊥側面ACC₁A₁，
即OD⊥側面ACC₁A₁
所以截面ADE⊥側面ACC₁A₁；
（2）截面ADE與底面ABC所成的角為θ
所以cosθ==
θ=45°
分析：（1）取AE、AC的中點O、S，連接DO，OS，BS，證明OD⊥側面ACC₁A₁，四邊形OSBD是矩形，即可證明截面ADE⊥側面ACC₁A₁；
（2）利用射影面面積與被射影面面積之比，求出求截面ADE與底面ABC所成的角的余弦值，然后求出角．
點評：本題考查平面與平面垂直的判定，二面角的求法，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．