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在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=x2上異于坐標原點O的兩不同動點A、B滿足AO⊥BO(如圖所示).

(1)求△AOB的重心G(即三角形三條中線的交點)的軌跡方程.

(2)△AOB的面積是否存在最小值?若存在,請求出最小值;若不存在,請說明理由.

解:(1)設△AOB的重心為G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),則①

∵OA⊥OB,=(x1,y1),=(x2,y2),·=0,即x1x2+y1y2=0.②

又點A、B在拋物線上,有y1=x12,y2=x22,代入②化簡,得x1x2=-1,

∴y==(x12+x22)=［(x1+x2)2-2x1x2］=×(3x)2+=3x2+.

∴重心為G的軌跡方程為y=3x2+.

(2)S△AOB=OA·OB==,

由(1)得S△AOB=≥

==×2=1.

當且僅當x12=x22,即x1=-x2=-1時,等號成立.

∴△AOB的面積存在最小值,存在時其最小值為1.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經過坐標原點O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點，點P在圓C上，且滿足PF=4，求點P的坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點．若點A的橫坐標是
3
5
，點B的縱坐標是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，若焦點在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設直線AC與BD的交點為P，求動點P的軌跡的參數方程（以t為參數）及普通方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的上下頂點分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點，直線QA1，QA2分別交x軸于點S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及對應的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

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